\section{矩阵的逆}

\begin{frame}{矩阵的逆}
在 \S2 我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算。矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? 这就是本节所要讨论的问题。

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这一节讨论的矩阵，如不特别说明，都是 $n \times n$ 矩阵。

\pause
我们知道，对于任意的 $n$ 阶方阵 $ A$ 都有
\[
 A E= E A= A,
\]
其中 $ E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。 因之， 从乘法的角度来看， $n$ 阶单位矩阵在 $n$ 阶方阵中的地位类似于 $1$ 在复数中的地位。
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一个复数 $a \neq 0$ 的倒数 $a^{-1}$ 可以用等式
\[
a a^{-1}=1
\]
来刻画，
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相仿地，我们引入

\begin{definition}%定义7 
  $n$ 阶方阵 $ A$ 称为\emph{可逆的}，如果有 $n$ 阶方阵 $ B$, 使得
\begin{equation*}
 A B= B A= E, \tag{1}
\end{equation*}
其中 $ E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
\end{definition}
我们知道只有同阶方阵才是可交换的， 因此只有方阵才能满足 (1)，才能谈逆矩阵。

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{observation*}
对于任意的矩阵 $ A$, 适合等式 (1) 的矩阵 $ B$ 是唯一的 (如果有的话)。
\end{observation*}
\pause
\begin{proof}
假设 $ B_{1},  B_{2}$ 是两个适合 (1) 的矩阵， 就有
\[
 B_{1}= B_{1}  E= B_{1}\left( A  B_{2}\right)=\left( B_{1}  A\right)  B_{2}= E  B_{2}= B_{2} .
\]
\end{proof}
\pause
\begin{definition}%定义8 
  如果矩阵 $ B$ 适合 (1), 那么 $ B$ 就称为 $ A$ 的\emph{逆矩阵}，记作 $ A^{-1}$.
\end{definition}
\pause
\begin{example}
  设方阵$A$满足$A^3-2A^2-A+2E=0$ (比如$A=\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 3\\
        & -1 & 4\\
        & & 2
    \end{pmatrix}$). 那么$A$可逆，且
    \[
      A^{-1}=-\frac{1}{2}(A^2-2A-E).
    \]
\end{example}
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下面要解决的问题是： 在什么条件下矩阵 $ A$ 是可逆的? 如果 $ A$ 可逆，怎样求 $ A^{-1}$ ?
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{definition}
设 $A_{i j}$ 是矩阵
\[
   A=\left(\begin{array}{cccc}
        a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
        a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
      \vdots & \vdots & & \vdots \\
    a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
\]
中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式。矩阵$ A$ 的\emph{伴随矩阵}定义为
\[
   A^{*}=(A_{ij})^{\rT} =\left(\begin{array}{cccc}
        A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
        A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
      \vdots & \vdots & & \vdots \\
    A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right).
\]
\end{definition}
\pause
由行列式按一行(列) 展开的公式立即得出
\begin{lemma}
\[
   A A^{*}= A^{*}  A=\left(\begin{array}{cccc}
        d & 0 & \cdots & 0  \tag{2}\\
        0 & d & \cdots & 0 \\
      \vdots & \vdots & & \vdots \\
    0 & 0 & \cdots & d
\end{array}\right)=d  E\quad (\text{其中 $d=| A|$}).
\]
\end{lemma}


\end{frame}

\begin{frame}


如果 $d=| A| \neq 0$, 那么由 (2) 得
\begin{equation*}
   A\left(\frac{1}{d}  A^{*}\right)=\left(\frac{1}{d}  A^{*}\right)  A= E. \tag{3}
\end{equation*}
\vspace*{-1em}
\pause
\begin{theorem}%定理3 
  \label{187}
  矩阵 $ A$ 是可逆的充分必要条件是 $ A$ 非退化，而
\[
A^{-1}=\frac{1}{d} A^{*} \quad(d=|A| \neq 0) .
\]
\end{theorem}

\pause
\begin{proof}
当 $d=| A| \neq 0$ 时，由 (3) 可知， $ A$ 可逆，且
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{1}{d} A^{*} . \tag{4}
\end{equation*}
\pause
反过来，如果 $ A$ 可逆，那么有 $ A^{-1}$ 使
$
 A  A^{-1}=E.
$
\pause
两边取行列式，得
\begin{equation*}
| A|\left| A^{-1}\right|=| E|=1, \tag{5}
\end{equation*}
因而 $| A| \neq 0$, 即 $ A$ 非退化。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  根据定理~\ref{187}~容易看出， 
\begin{corollary}
对于 $n$ 阶方阵 $ A,  B$, 如果
\(
A B=E,
\)
那么 $ A,  B$ 就都是可逆的并且它们互为逆矩阵。
\end{corollary}
\pause
由 (5) 可以看出，
\begin{corollary}
如果 $d=| A| \neq 0$,那么
\[
\left| A^{-1}\right|=d^{-1}.
\]
\end{corollary}

\pause
定理~\ref{187}~不但给出了一矩阵可逆的条件， 同时也给出了求逆矩阵的公式 (4). 按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的。在以后我们将给出另一种求法。
\pause
\begin{example}
二阶方阵$\begin{pmatrix}
      a & b\\ c& d
    \end{pmatrix}$可逆当且仅当$ad-bc\neq 0$.  若$ad-bc\neq 0$, 
  \begin{equation}
    \begin{pmatrix}
      a & b\\ c& d
    \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
      d & -b \\ -c & a
    \end{pmatrix}.
    \label{001}
\end{equation}
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{corollary}%推论 
    如果矩阵 $ A,  B$ 可逆，$0\neq k\in P$, 那么 $ A^{\rT}$, $ A B$, $kA$ 也可逆，且
\[
  (A^{\mathrm{T}})^{-1}=( A^{-1})^{\mathrm{T}}, \quad( A B)^{-1}= B^{-1} A^{-1}, \quad (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}.
\]
\end{corollary}
\pause

\begin{proof}
由定理即得推论的前一半，现在来证后一半。由
\[
A A^{-1}=A^{-1} A=E
\]
两边取转置， 有
\[
( A^{-1})^{\mathrm{T}}  A^{\mathrm{T}}= A^{\mathrm{T}}( A^{-1})^{\mathrm{T}}= E^{\mathrm{T}}= E,
\]
因此
\[
( A^{\mathrm{T}})^{-1}=( A^{-1})^{\mathrm{T}}.
\]
由
\[
(A B)(B^{-1} A^{-1})=(B^{-1} A^{-1})(A B)=E
\]
即得
\[
  (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}.
\]
\end{proof}

\pause
\begin{exercise}
  设$A, B, A+B$可逆。证明$(A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1} A^{-1}$.
\end{exercise}
\end{frame}


\begin{frame}{Cramer 法则的证明}
利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的一种推导法。线性方程组
\[
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}, \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}
\end{array}\right.
\]
可以写成（\S2 例2）
\begin{equation*}
A X=\beta. \tag{6}
\end{equation*}
\pause
如果 $|A| \neq 0$, 那么 $A$ 可逆。
注意到如果 $X=X_0$ 是 (6) 的一个解， 那么由 $A X_0=\beta$
得
\[
  A^{-1}(A X_0)=A^{-1} \beta,
\]
即
\[
X_0=A^{-1} \beta.
\]
\pause
用
\[
X=A^{-1} \beta
\]
代入 (6) 可知$X=A^{-1}\beta$确实是解。所以线性方程组$AX=\beta$有唯一解$A^{-1}\beta$.
\pause
再把用 $A^{-1}$ 的公式 (4) 代入可得
\[
  x_i=\frac{\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j}{|A|}=\frac{|B_i|}{|A|},
\]
其中$B_i$为$A$替换第$i$列为$\beta$得到的方阵。
\end{frame}

\begin{frame}{可逆矩阵（左或右）乘保持秩}
联系到可逆矩阵， 关于矩阵乘积的秩有

\begin{theorem}%定理4 
$ A$ 是一个 $s \times n$ 矩阵， 如果 $ P$ 是 $s \times s$ 可逆矩阵， $ Q$ 是 $n \times n$ 可逆矩阵，那么
\[
  \rank( A)=\rank(P A)=\rank(A Q)=\rank(PAQ).
\]
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
令$B=PA$.
由定理~\ref{119}~得
\[
  \rank B\leqslant \rank A.
\]
又有
$A=P^{-1} B,$
故也有
\[
\rank ( A) \leqslant \rank( B).
\]
所以
\[
\rank( A)=\rank( B)=\rank(P A).
\]
同样地可证明$\rank A=\rank (AQ)$. 合并这两个等式可得$\rank A=\rank (PAQ)$. 
\end{proof}

%\pause
%
%\begin{example}
%  设$S=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$为一线性无关向量组。
%  设向量组$T=(\beta_1,\cdots,\beta_r)$可由$S$线性表出为
%  $\beta_i=\sum_{j=1}^r c_{ij}\alpha_j$. 令$C=(c_{ij})_{r\times r}$.
%那么$T$线性无关当且仅当$C$可逆 (即$\det C\neq 0$).
%\pause
%  诚然，不妨设所给向量是行向量，令$A=\begin{pmatrix}
%    \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_r
%  \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
%    \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_r
%  \end{pmatrix}$.
%  那么$B=CA$. 
%\pause
%  若$C$可逆，由可逆矩阵乘不改变秩知
%  $\rank_r B=\rank B=\rank A=r$, 故$T$线性无关；
%  \pause
%  而若$C$不可逆，则$\rank B\leqslant\rank C<r$, 从而$T$线性相关。
%\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 何为可逆矩阵？
    \item 何为一方阵$A$的伴随矩阵$A^*$？$AA^*=$? $A^*A=$?
    \item 如何用行列式刻画方阵的可逆性？
    \item 求逆公式是？二阶可逆方阵的求逆公式？
    \item 逆矩阵的行列式如何用原方阵的行列式表示？
    \item 可逆矩阵的转置、乘积、非零数乘的逆的公式是？
    \item 类比于解一元一次方程解释Cramer法则并给出解的公式。
    \item 可逆矩阵左乘或右乘对秩的效果是？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
